Dies ist Teil 1 einer laufenden Arbeit, die sich mit den modernen Steuermodellen der Ökonomie und ihrer Vereinbarkeit mit dem Moral- und Wertesystem  eines hypothetischen, postmaterialistischen Gesellschaftssystems  im Sinne von Gebser, Becks, Wilber und Aurobindo beschäftigt. Teil 1 befasst sich mit den mathematischen Aspekten der Wohlfahrtsmaximierung und dient als Basis für die im hohen Maße spekulativen Überlegungen für Teil 2. Teil 2 befindet sich in Ausarbeitung und setzt sich mit der Interpretation der Modelldaten und mit den theoretischen Folgen für eine mögliche integrale Wirtschaftspolitik eines global-holistischen Gesellschaftssystems  auseinander.

 

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 Towards a integral tax system

Ansätze einer integralen Steuertheorie der aperspektivischen Bewusstseinsstufe (von Oliver Sorin)

 

 

Inhalt

Abbildungsverzeichnis. 4

1.0 Einleitung. 6

1.1 Funktionen von Steuern. 6

1.2  Steuerlast Verteilung. 7

1.3 Wettbewerbsmarkt. 7

1.3 Non kompetitive Markt. 9

1.4 Steuerlast in Abhängigkeit der Elastizitäten. 11

2.0 Effizienzsanalyse von Steuersystemen. 11

2.1 Analyse der  Wohlfahrtsveränderung. 11

2.3 Analyse des Substitutionseffektes. 13

3.0 Steuersystem Optimierung. 14

3.1 Ramsey Modell 14

3.2 Ramsey Modell Erweiterung auf n Güter. 17

3.3 Inverse Elastizität Regel 19

3.4 Modell Erweiterung  mit mehreren  Haushalten. 20

4.0  Einkommenssteuer Modelle. 22

4.1 Schwellenwerte im Steuersystem.. 24

4.2 Auswirkungen auf den Arbeitsmarkt. 24

4.3  Einkommensteuer Optimieirung: Das Mirrlees Model 26

4.3.1 Agent Monotonicity. 28

4.3.2 Obere und untere Steuerlimit. 28

4.3.3 Optimale Steuerrate. 29

4.3.4 Optimalitätsbedingung. 30

Literaturverzeichnis. 32

 

 

 

 Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1. 4

Abbildung 2. 5

Abbildung 3. 6

Abbildung 4. 6

Abbildung 5. 9

Abbildung 6. 11

Abbildung 7. 19

Abbildung 8. 21

Abbildung 9. 23

Abbildung 10. 25

Abbildung 11. 26

 

 

 

Das Ziel dieser Arbeit liegt darin, Erkenntnisse der Steuertheorie der neoklassischen Ökonomie mit Überlegungen von Jean Geber (integral-aperspektivische Entwicklungsstufe), Don Beck (Spiral Dynamics), Ken Wilber (4 Quadranten Modell) und Sri Aurobindo über die ganzheitlich evolutionäre Betrachtung einer Gesellschaft über verschiedene Bewusstseinsstufen hinweg, zusammenzuführen. Hierzu werden diverse mathematische Modelle der Steuertheorie auf ihren Erkenntnisgehalt in Hinblick auf Effizienz- und Wohlfahrtsmaximierung untersucht und überprüft, inwieweit sie mit dem Moral und Wertesystem einer hypothetisch- postmaterialistischen Bewusstseinsstufe vereinbar wären.

Besteuerung wird dabei als integraler Bestandteil in der Organisationsstruktur von Gesellschaftssystemen verstanden, der als Umverteilungsmechanismus zur Aufrechterhaltung einer funktionierenden Ökonomie beiträgt. Die Wirtschaftswissenschaft ist, seitdem die mathematischen Konzepte der Neoklassik eingeführt wurden, sehr wohl in der Lage zu beurteilen, welche Verteilung effizient und im mathematischen Sinne optimal ist.

Da die Wissenschaft der Ökonomie keine qualitativen Aussagen über Moral und Wertegehalt ihrer analytischen Modelle treffen kann, ist sie nicht in der Lage, wirtschaftspolitische Entscheidungen in Hinblick auf einen „fairen“ Umverteilungsprozess zu fundieren. Hierin lieg das Grundproblem der Wohlfahrtsökonomie verankert, da es kein allgemein anerkanntes Bewertungssystem gibt, das klärt, was ein fairer Konsens ist und was eine „faire“ Verteilung ist.

Moral und Werte unterliegen einem dynamischen Wandel und zeigen sich auf jeder Bewusstseinsstufe mit einem neuen Gesicht. Der Mensch trifft moralische Entscheidungen nicht nach einem statischen Konzept mit festen, unveränderlichen Parametern, sondern gemäß seiner Entwicklungsstufe. Eine für alle Menschen gültige „gute“ Moral gibt es nicht.  

Dieses Papier behandelt die Frage, inwieweit sich die Effizienzbedingungen eines wohlfahrtsmaximierenden Steuersystems in die Moral- und Wertevorstellungen einer postmaterialistischen Gesellschaft, wie sie Jean Gebser (integral aperspektivische Bewusstseinsstufe) formuliert hat, und wie sie in ähnlicher Form auch in der Spiral Dynamics Theorie (Gelb-Türkise Memme) und in dem Bewusstseinsmodell von Ken Wilber (holistische Entwicklungsstufe) zu finden sind, integrieren lassen.

Hierzu befasst sich Teil 1 verkürzt mit der ökonomischen Betrachtung, indem mathematische Modelle der Wirtschaftswissenschaft herangezogen werden, um diverse Optimalitäts-bedingungen eines wohlfahrtsmaximierenden Steuersystems zu identifizieren. Teil 2 soll die Erkenntnisse der Effizienz-Modelle weiter interpretieren und analysieren, inwieweit  sie mit den theoretischen Ausarbeitungen von Gebser, Becks,  Wilber und Aurobindo, einer hypothetisch-zukünftigen Gesellschaft mit einem weiterentwickelten Moralsystem, auch tatsächlich vereinbar wären.

 

 

 

Teil 1  Ökonomische Betrachtung

1.0 Einleitung

 

 

1.1 Funktionen von Steuern

Steuern erfüllen in einer Ökonomie vielfältige Aufgaben. Sie sind ein wesentliches Werkzeug des Umverteilungsprozesses,  ermöglichen die Staatsfinanzierung und können als korrektive Instrumente bei Marktversagen dienen. Sie werden häufig auf die nutzenmindernde Wirkung reduziert und als Ungut betrachtet, die die Wohlfahrt des Individuums schmälern, besitzen jedoch auch nutzensteigernde Eigenschaften, indem sie dort zu einer Reallokation beitragen können, wo es durch den  freien Markt  nicht gewährleistet wird (Marktversagen ).  

Die neoklassische Theorie hat im Modell gezeigt, dass der vollkommene Markt (vollkommene Konkurrenz, keine Marktmacht und keine Eintrittsbarrieren, homogene Güter,  vollkommene Information, Übereinstimmung der individuellen Nutenfunktion mit der kollektiven Nutenfunktion, rationale Marktteilnehmer) einen Preismechanismus von Angebot und Nachfrage freisetzt, der allen Wirtschaftssubjekten den höchsten Wohlfahrtseffekt bringt (höchste Maß an Konsumentenrente und Produzentenrente). Dort wo ein Marktversagen diagnostiziert wird (z.B. Trittbrettfahrer Problem bei  öffentlicher Gütern,  Monopolmacht, asymmetrische Informationsverteilung) können Steuern als  korrektive Instrument  eingesetzt werden und bestehende wohlfahrtsvermindernde Effekte reduzieren.

Steuern haben in der der ökonomischen Evolution eine lange Geschichte, sie  werden bereits  in Bibel als gerichtfertige Maßnahme zur Umverteilung zugunsten der Priesterklasse erwähnt und haben im Verlauf der Menschheitsgeschichte eine kontinuierlich Weiterentwicklung erfahren, vom Feudalsystem im Mittelalter, bis hinauf zu den progressiven und hochdifferenzierten Steuersystemen der Neuzeit. Das moderne System kennt eine Vielzahl von Steuern auf Güter und Luxusgüter, wie  Tabaksteuer, Schadstoffsteuer, Schenkungsteuer, Einkommenssteuer, Unternehmenssteuer, Kapitalertragssteuer, Erbschaftsteuer usw.  Es kann zwischen Steuerarten unterschieden werden, nämlich direkte Steuern, wie beispielsweise Einkommenssteuer oder  Unternehmensteuer und indirekte Steuern wie beispielsweise die Mehrwertsteuer auf Waren. Es wird eine Unterteilung wie folgt verwendet:

Direkte Steuern: z.B. Einkommenssteuer,  Unternehmenssteuern (auf Individuen und Unternehmen)

Indirekte Steuern:  z.B. Mehrwertsteuer (value added tax ) auf  Services und Güter.

Spezifische Steuern:  Fixer Betrag pro Einheit.

Ad Valorem Steuer: Prozentualer Betrag vom Preis.

Steuern stören ein ökonomisches System,  wenn sie das Verhalten der Wirtschaftssubjekte  beeinflussen. Unter dem Axiom, dass der freie Markt und die Wettbewerbskräfte dazu ausreichend sind, ein optimales Wirtschaftssystem zu evolvieren, wären nichtverzerrende Steuern die beste Maßnahme, da sie den Wirtschaftsubjekten keine Möglichkeit bieten, sich durch legale Verhaltensänderungen den Steuern zu entziehen. Solche nichtverzerrenden Steuern (Pauschalsteuern) werden „lump sum taxes“ genannt. Beispiele dafür sind  Kopfsteuer auf verschiedene Merkmale, wie Alter, Geschlecht, auf die das Individuum keinen Einfluss nehmen kann.

 

 

1.2  Steuerlast Verteilung

Die Einführung einer Steuer wirft die Frage auf, wer die Steuerlast tragen soll. Eine Analyse der mikroökonomischen Wettbewerbsmodelle zeigt auf, dass viele Annahmen der wirtschaftspolitischen Praxis nicht haltbar sind.  Wer die tatsächliche Steuerlast trägt, hängt davon ab,  ob ein Wettbewerbsmarkt oder monopolistischer Markt vorliegt, ob es sich um eine indirekte Steuer (z.B. Mehrwertsteuer, bzw. Wertsteuer =  Ad Valorem) oder spezifische Steuer handelt und von den Nachfrageelastizitäten der Marktteilnehmer.

 

 

1.3 Wettbewerbsmarkt

 Prinzipiell macht es im Wettbewerbsmarkt keinen Unterschied,  ob die Steuer direkt bei den Konsumenten oder den Produzenten eingehoben wird, Der Konsumenten Rente (consumer surplus = CS)   und Produzentenrente (producer surplus = PS )  ändern sich bei beiden Steuerarten im gleichen Ausmaße, gegeben einer gesetzten Einnahmehöhe für den Staat.

Abbildung 1: Der Wettbewerbsmarkt realisiert  den Marktpreis  p* mit der Menge Q* bei D=S (Angebot = Nachfrage).  Bei einer Steuereinführung in der Höhe  t,  eingehoben von den Konsumenten, verschiebt sich die Nachfrage  von D auf D‘ mit der  neuen Marktmenge Q‘ und dem Marktpreis p1. Die Staatseinnahme beträgt (p1+t – p1)*Q‘. Bei einer Steuereinführung in der Höhe t eingehoben von den Produzenten, verschiebt sich das  Angebot  von S auf S‘  mit der neuen Marktmenge  Q‘ und dem Marktpreis p1+t. Die Staatseinnahme betragen ebenfalls (p1+t – p1)*Q‘.  Die Strecke p*-p1 entspricht der Steuerlast der Produzenten, die Strecke (p1+t)-p* entspricht der Steuerlast der Konsumenten (|∆CS| =|∆PS|).

 

Abbildung 1

 

 

Abbildung 2: Im Wettbewerbsmarkt  macht es keinen Unterschied, ob eine spezifische Steuer, oder eine Ad Valorem Steuer eingesetzt wird. Der kompetitive Markt realisiert das  Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage im Schnittpunkt  von S und D bei einem Marktpreis von p* und einer Marktmenge von Q*.  Bei einer spezifischen Steuer verschiebt sich die Nachfrage  von  D auf D ‘‘ mit dem neuen Preis p1 und der Menge Q1.  Die Verzerrung durch eine Ad Valorem Steuer entspricht der Verschiebung der Nachfrage von D auf D‘ mit demselben Gleichgewichtspreis p1 und derselben Gleichgewichtsmenge Q1. Konsumentenrente (CS) und Produzentenrente (PS) ändern  sich bei den beiden Steuerarten  bei gleichen Staatseinnahmen im gleichen Ausmaße.  

 

 

Abbildung 2

 

 

1.3 Non kompetitive Markt

Im monopolistischen Markt ergibt sich  ein Unterschied, ob eine spezifische Steuer, oder eine  Ad Valorem  Steuer realisiert wird.  Für gewöhnlich führt im nicht kompetitiven Markt  eine Ad Valorem Steuer zu einer höheren Steuereinnahme für den Staat, als eine spezifische Steuer, wenn der  Output des Monopolisten gleich bleiben soll.

Abbildung 3: Spezifische Steuer: Der Monopolist setzt den Output  dort, wo der Grenzprofit  MR (Q) =  Grenzkosten MC(Q)  und realisiert seinen optimalen Output vor Steuern  bei  Punkt Q. Nach Einführung einer spezifischen Steuer, verschiebt sich der Grenzprofit von MR auf MR‘, die Angebotsmenge von Q auf Q1.  Die Steuereinnahmen für den  Staat betragen (P1-P2)* Q1

Abbildung 3

 

 

Abbildung 4:  Ad Valorem: Der Monopolist setzt den Output dort, wo der Grenzprofit MR (Q) =  Grenzkosten MC(Q)  und realisiert seinen optimalen Output vor Steuern  bei  Punkt Q. Nach Einführung einer Ad Valorem Steuer, verschiebt sich der Grenzprofit von MR  auf MR‘, die Angebotsmenge von Q auf Q1.  Die Steuereinnahmen für den  Staat betragen (P1-P2)* Q1. Da t‘ > t sind die Steuereinnahmen für den Staat  bei der Einführung einer Ad Valorem Steuer höher, als bei einer spezifischen Steuer.

Abbildung 4

 

 

1.4 Steuerlast in Abhängigkeit der Elastizitäten

Je niedriger die  Elastizitäten eines Individuums sind, desto größer ist die Steuerlast, die vom Individuum auch tatsächlich getragen wird. Eine Nachfrageelastizität von Null bedeutet, dass bei der Einführung einer Steuer, die Produzenten keinerlei Steuerlast übernehmen und alles von den  Konsumenten übernommen wird. Eine Angebotselastizität von Null bedeutet, dass die Konsumenten nicht betroffen sind und die gesamte Steuerlast von den Produzenten getragen wird. Dieselben Prinzipien könne auch auf Förderungen übertragen werden, oder auch auf die Analyse anderer  Märkte wie  beispielsweise auf den Arbeitsmarkt. 

Elastisch  |ela|> 1      ..……………..niedrige Steuerlast

Unelastisch |ela| <1  ……………….hohe Steuerlast                  

 

 

 

2.0 Effizienzsanalyse von Steuersystemen

 

 

2.1 Analyse der  Wohlfahrtsveränderung

Bisher wurde gezeigt, dass die Steuerlast im Wettbewerbsmarkt auf Produzenten und Konsumenten gelichermaßen entfällt,  unabhängig davon, von welcher Seite die Steuern eingehoben werden. Die getragene Steuerlast ist  von den Angebots- und Nachfragelastizitäten der Produzenten und Konsumenten abhängig. Verzerrende Steuern führen bei den Marktteilnehmern daher zu einem veränderten  Konsum- oder Arbeitsangebotsverhalten.

Die Steuertheorie beschäftigt sich mit der Suche nach einem System, dass den geringsten  Nutzenverlust für die Individuum erzeugt  und bedient sich  dazu der Analyse des  Wohlfahrtsverlustes (death weight loss = dwl). Im Modell werden zwei Güterbündel (x1 und x2)  angenommen, ein Individuum das eine Nutzenfunktion mit abnehmenden Grenznutzen aufweist  und eine Indifferenzkurve der Form I und eine Budget Beschränkungsgerade der Form B besitzt. Das Nutzenmaximum für das Individuum liegt an dem Punkt z, wo die Grenzrate der Substitution gleich der Steigung der Budgetgerade B ist.

Bei der Einführung einer Lump Sum (gleiche Steuer auf alle Güterbündel) verschiebt sich die Budgetgerade B auf B‘.  Das neue Nutzenoptimum für das Individuum liegt bei Punkt (5), dort wo die Budgetgearde B‘ die Indifferenzkurve I‘ tangiert.  Das Individuum gerät auf die niedrigere Indifferenzkurve  I‘ und erfährt einen Nutenverlust. Die Steuereinnahmen für den Staat bei einer Lump Sum Steuer beträgt (2)-(5).

Wird eine Ad Valorem  Steuer eingeführt, rotiert die Budget Beschränkungsgerade B  zu B‘‘.  Das Nutzenoptimum für das Individuum liegt bei Punkt 3 und damit dort, wo die Budgetgerade B‘‘ die Indifferenzkurve I‘ tangiert.  Die Steuereinahmen betragen (1)-(3). Die Steuereinahmen bei einer Ad Valorem Steuer sind  um  den (3)-(4) geringer, als bei einer Lump Sum Steuer. Die grafische Analyse verdeutlicht, dass eine Ad Valorem Steuer im  Vergleich zu einer Lump Sum Steuer zu einem Wohlfahrtsverlust in der Ökonomie führen.  Aus  der Sicht dieses Modells sind daher Lump Sum Steuern wirtschaftspolitisch das Instrument erster Wahl, weil sie im Vergleich zu Ad Valorem Steuern eine höhere Effizienz und damit einen geringeren dwl aufweisen.

Da der dwl  abhängig ist von der Nachfrageelastizität gilt:

 

Umgeformt:

 

Nach    aufgelöst:

 

Da  der dwl (dP*dQ)/2 beträgt, folgt:

 

Somit ist der Wohlfahrtsverlust abhängig von der Elastizität der kompensierten Nachfrage und steigt mit dem Quadrat der Steuer t an.

Abbildung 5

 

 

2.3 Analyse des Substitutionseffektes

Der Einkommenseffekt ist immer negativ (bei einer Steuererhöhung erleidet das Individuum immer  einen Einkommensverlust und fällt auf eine niedrigere Indifferenzkuve mit niedrigerem Nutzennivea zurück), da aber der Substitutionseffekt entweder positiv oder negativ sein kann, benötigt es einer Analysetechnik, die in der Lage  ist den Substitutionseffekt vom Einkommenseffekt zu isolieren. Da die gewöhnliche Walrasianische  Nachfragefunktion dies nicht leisten kann, benötigt es dazu die kompensierte Nachfragefunktion (Hicks’sche Nachfragekurve) die das reale Einkommen konstant hält und auf eine Nachfrageveränderung des  Preises reagiert.

Die Walrasianische Nachfragekurve (Marshallsche Nachfragefunktion) zeigt die Nachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit vom Preis P des Gutes und vom Einkommen I:

 X(P,I)

 

Die Hicks’sche Nachfrage zeigt die kompensierte Nachfrage H nach einem Gut in Abhängig von dessen Preis P und dem Nutzen des Individuums U. Verändert sich der Preis des Gutes, wird in selber Weise das Einkommen des Individuums verändert,  sodass das Individuum auf demselben Nutzenniveau konstant bleibt. Dadurch zeigt sich bei einer Preisveränderung der reine Substitutionseffekt(Sie ist bei einem normalen Gut steiler als die Walrasianische Nachfragefunktion und bei einem inferioren Gut flacher):

H(P, U)

 

 

 

3.0 Steuersystem Optimierung

 

 

3.1 Ramsey Modell

Die Dwl Analyse ergibt signifikante Wohlfahrtsverluste bei einer Ad Valorum Steuer in Vergleich zu einer spezifischen Steuer (in der Höhe von t² und in Abhängigkeit zur Angebots und Nachfrageelastizität. Eine Lump Sum Steuer führt zu keinen Verzerrungen im Wettbewerbsmarkt und ist die effizienteste Steuerform, gilt aber wirtschaftspolitisch als schwer durchsetzbar, da sie sozial als ungerecht empfunden wird. Ein Steuermodell, das als sozial gerecht empfunden wird, muss  Umverteilungsmöglichkeit offerieren. Auf der Suche nach einem optimierten Steuersystem  ist es das Ziel Wohlfahrtsverluste (Dwl)  bei einer zu erreichenden Staatseinnahme zu minimieren.

Ein  ökonomische Modell zur Unterschichten der Optimalität von Steuersystem ist Ramsey Modell. Es hat folgende Annahmen:

Zwei Güter: Konsum (consumption) und Arbeit (labor)

Die Ökonomie besteht aus einem Konsumenten  und einen Unternehmen

x ………..output

l…………..labor

w…………wage rate = 1

p…………producer price

 t………….tax 

q = p+t…consumer price

Y…..production set

R …….tax revenue required for government

B….. budget constraint

I….. indiferenz curve

 

Abbildung 6: Im Ramsey Model ist bei einer  Ad Valorem Steuer t* = q-p das Optimum im Punkt e  realisiert, nämlich dort, wo die Indifferenzkurve I, die Budgetgerade B, die Produktionsgerade Y  und die Angebotskurve O  schneiden.  Das Individuum realisiert  unter der Voraussetzung einer Ad Valorem Steuer Punkt e, weil hier die Steigung der Indifferenzkurve I gleich der Steigung der Budgetgerade  B ist. Doch Punkt e ist nicht das  maximal erreichbare Nutzenoptimum.   

Es gibt einen höheren Punkt e* der auf einer höheren Indifferenzkurfve I‘ liegt und damit das Individuum auf ein höheres Nutzenniveau bringt.  Dieser  Punkt  e*  liegt auf der Produktionsgerade und könnte mit einer Pauschalsteuer Steuer (im Ausmaß von l –R ) erreicht werden.  Punkt  e*  mit einer Lump Sum Steuer ist  für das Individuum nutzenoptimaler, als Punkt  e mit der Ad Valorem  Steuer  t* = q-p. Das Ausmaß der gewünschten Steuereinahmen bei einer  Lump Sum Steuer beträgt  l –R.

 

Abbildung 6

 

 

Das Rumsey Modell führt  zu einer Erkenntnis, die in der Literatur  unter dem Begriff  „Production Efficiency Lemma“ beschrieben wird,  nämlich, dass eine optimale Güterbesteuerung nicht die Produktionseffektivität stören darf.  Produktionseffektivität ist dann erfüllt, wenn die Ökonomie unter Ausnützung der technischen Möglichkeiten und gegebenen Ressourcen den maximal möglichen Output erzeugen kann.

Pareto Effizienz ist dann erfüllt, wenn durch Reallokation von Inputfaktoren keine Outputsteigerung eines Gutes mehr erreicht werden kann, ohne dass dabei  der Output eines anderen Gutes vermindert wird. Dieses Optimum ist dann realisiert, wenn die marginale Grenzrate der technischen Substitution (MRTS)  zwischen den Inputfaktoren zwischen allen Firmen gleich ist.  Im neoklassischen Modell des vollkommenen Marktes wird dies dadurch realisiert, dass profitmaximierende Unternehmen die marginale Grenzrate der technischen Substitution, gleich dem Verhältnis der Inputpreise setzen (Das Substitutionsverhältnis der Inputfaktoren für die Produktion entspricht dem Preisverhältnis der Inputfaktoren).

Unter den Annahmen des vollkommenen Wettbewerbsmarktes sehen sich alle Firmen mit derselben MRTS konfrontiert, vorausgesetzt  die Inputpreise für alle Unternehmen sind gleich. Eine Besteuerung der  Inputfaktoren stört die Produktionseffektivität und damit den optimalen Leistungsoutput der Ökonomie, indem für die Unternehmen unterschiedlich Preisverhältnisse der Produktionsfaktoren entstehen und damit die Gleichheit der marginalen Grenzrate der technischen Substitution zwischen allen Produzenten verletzt wird. Dieses Argument, dass ein optimales Steuersystem die Preisverhältnisse von  Zwischengüter nicht stört,  ist auch unter dem Begriff des  „Diamond Mirrlees Production Eficinecy Lemma „ bekannt.

 

 

3.2 Ramsey Modell Erweiterung auf n Güter

Die Erweiterung auf mehrere Güter mit den Variablen (q=Preis mit Steuer, p= Preis ohne Steuer,  x1=Menge Gut 1, x2= Menge Gut 2,  I = Einkommen, R Steuereinnahmen)  erfolgt unter den folgenden  Annahmen:

 

Die Budgetgerade lautet:

x0= q1*x1+q2*x2

 

Die Präferenzen des Konsumenten werden ausgedrückt durch die Nutzenfunktion:

U ( x0,x1, x2)

 

Die Walrasianische Nachfragefunktion  stellt sich in der Form dar:

xi(q1,q2,w, I)

 

Die indirekte Nutzenfunktion lautet dann:

U= V(q1,q2,w,I)

 

Mit einer gewünschten Steuereinnahme R:

R=t1*x1+t2*x2

 

Die  Zielfunktion der Optmierungsaufgabe lautet:

MAX  V(q1,…qn,w,I )

 

Mit der Restriktion:

 

Die Lösung erfolgt über  die Lagrange Funktion:

 

Nach der Auflösung der Lagrangefunktion, der Anwendung von  Roys Identität  und Umformung erhält man  die Zwischenlösung (1)

 

Die  Anwendung der Slutsky Zerlegung ergibt (2(´): 

 

2 in 1 eingesetzt ergibt:

   

 

xk herausgehoben und umgeformt:

 

Es folgt, dass der Substitutionseffekt einer Nachfrageveränderung von Gut k,  als Reaktion auf eine Preisveränderung von Gut i,  gleich ist dem  Substitutionseffekt einer Nachfrageveränderung  von Gut i, gegeben einer Preisveränderung von Gut k:

Ski = Sik

Wobei  Sik  die Veränderung in der  Nachfrage nach Gut i, gegeben bei einer Preisveränderung von Gut k angibt. Ski gibt die Veränderung der Nachfrage nach Gut k an, gegeben bei einer Veränderung  des Preises von Gut i.  

 

Es  lässt sich die Ramsey Regel ableiten, mit der Form:

 

Dividiert durch xk ergibt sich die  Gleichung:

 

Die Ramsey Regel für eine optimale Güterbesteuerung besagt nun, dass ein effizientes Steuersystem so strukturiert sei, dass die kompensierte Nachfrage nach einem Gut im selben Verhältnis relativ zu der kompensierten Nachfrage eines anderen Gutes reduziert wird. Entgegen der Meinung, dass eine gering verzerrende Steuer die Preise aller Güter im gleichen Verhältnis verändern soll, besagt  die Ramsey Regel, dass ein effizientes Steuersystem die  Verzerrungen der Nachfragemengen minimiert und die Reduktion der kompensierte Nachfrage für aller Güter gleich sei. Güter mit relativ stabiler Nachfrage, die wenig auf eine Preisveränderung reagieren, werden nach der Ramsey Regel also verhältnismäßig höher besteuert. Da die Besteuerung eines Gutes invers proportional zur Preiselastizität der Nachfrage ist, würde ein solcher Steuersatz die Haushalte mit niedrigem Einkommen stärker  treffen, weil die meisten Grundnahrungsgüter eine geringe Elastizität aufweisen (geringe Nachfrageänderung als Folge einer Preisänderung).  Die Ramsey Regel gibt zwar an, was im mathematischen Sinne effizient ist (mit dem geringsten Wohlfahrtsverlust für die gesamte Ökonomie) kann aber keine Aussagen  über eine soziale Verteilung geben.

 

 

3.3 Inverse Elastizität Regel

Die Kritik an der Ramsey Regel lautet, dass sie Cross Preis Elastizitäten zwischen den Gütern nicht einbezogen werden.  Abgeleitet aus der Ramsey Regel und unter Einbezug von Cross Preiselastizitäten gelangt man zu der Inversen Elastizitätsregel mit der Form:

 

Wobei a der Grenznutzen einer weiteren Einkommenseinheit darstellt,  tk die Steuer auf das Gut k, pk der Preis für das Gut k,     die Nutzenkosten für eine weitere Einheit Staatseinnahmen, E die Nachfrageelastizität für das Gut k.  Die Inverse Elastizitäten Regeln führt damit zur gleichen Schlussfolgerung, wie die Ramsey Regel, dass Güter mit geringer Nachfragelastizität verhältnismäßig höher besteuert werden, als Güter mit hoher Nachfragelastizität.

 

 

3.4 Modell Erweiterung  mit mehreren  Haushalten

Die bisherigen Untersuchungen beschränkten sich auf einen einzigen Konsumenten und einen Produzenten. Zur  Analyse der Wohlfahrtsverluste einer ganzen Gesellschaft  durch verzerrende Steuern, soll das Modell auf mehrere Individuen mit jeweils unterschiedlichen Einkommen, erweitern werden. Dazu soll mithilfe der Lagrange Methode die kollektive Nutzenfunktion der Gesellschaft (Bergson Samuelson Funktion) optimiert werden.

Für die weiteren Darstellungen werden die Variablen definiert:  Es sei Uⁿ = der Nutzen des Individuums n, x0 ⁿ ,…,x2 ⁿ =  die nachgefragte Menge des Gutes xo bis x2 von Individuum n, q , I ⁿ           = das Einkommen des Individuums  n, w der Lohnsatz,

 

Die Nutenfunktionen des Haushaltes  n  ist gegeben in der Form:

 U ⁿ  = U (x0ⁿ(q),x1ⁿ(q),x2ⁿ(q))

 

In der Darstellungsform der indirekten Nutenfunktion führt zu:

V ⁿ =(q1,q2,w,Iⁿ)

 

Die Restriktion der Optimierungsaufgabe ist die vorgeschriebene Höhe der Steuereinnahme R:

 

Für die lagrangsche Optimierung werden die einzelnen Nutzenfunktionen der Haushalte V ⁿ zusammengefügt zur Bergson Samuelson Wohlfahrtsfunktion W:

W= W (V1, V2)

 

Sodass die Lagrangefunktion aufgestellt werden kann mit der Form:

Max L= W (V1, V2) +

 

Es sei    ⁿ  der  Parameter, der die Bedeutung des Individuums n  in der Bergson Samuelson Wohlfahrtsfunktion gewichtet und   der marginale Grenznutzen des Individuums n für eine zusätzliche Einkommenseinheit   , dann sei der Zusammenhang definiert:

 

 

Nachdem die langrangsche Optimierung und dieselben Lösungsschritte wie im vorherigen Beispiel zur Herleitung der Ramsey Regel vollzogen wurden (Roys Identität, Slutsky Zerlegung, Umformung),  erhält man die Lösung:

 

 

Der obere Ausdruck  kann für das optimale Steuersystem einer Gesellschaft angesehen werden, deren kollektive Wohlfahrtsfunktion in Hinblick auf eine zu leistende Steuerabgabe, optimiert wurde. Sie gibt die akkumulierte kompensierte Nachfrageveränderung für das Gut k an (linker Term),  in Abhängigkeit zum Einkommen der Individuen und unter Berücksichtigung der Effizienzaspekte (rechte Terme) an. Je höher die Gewichtung eines Individuums in der Wohlfahrtsfunktion durch den Parameter  ist, und je größer sein Anteil am Gesamtkonsum ist, desto geringer sollte die kompensierte Nachfrageveränderung für das Individuum ausfallen.

 

4.0  Einkommenssteuer Modelle

 

Einkommenssteuer bildet in den kapitalistisch organsierten Wirtschaftssystemen eine wichtige Einnahmequelle für den Staatshaushalt. Das  optimale Einkommenssteuermodell ist wirtschaftspolitisch ein kontroverses Thema. Der Kritikpunkt an der Einkommenssteuer ist, dass sie eine wesentliche Hemmung der Leistungsmotivation der Wirtschaftsteilnehmer zur Folge hat und damit den Leistungsoutput des Systems senkt. Dem gegenüber bildet die Einkommenssteuer den Vorteil, dass sie auf einfache Weise eine Umverteilung von Vermögen ermöglicht.  Als wesentliches Steuerungsinstrument  der Verteilungspolitik ist sie in Hinblick auf Effizienz und Optimalitätsbedingungen einer integralen Wirtschaftspolitik sorgfältig zu analysieren.

Wie gezeigt, stören Steuersysteme auf Güter die ökonomische Dynamik auf empfindliche Weise, indem sie das Verhalten der  Wirtschaftsakteure  beeinflussen. Die  Suche nach dem optimalen Steuersystem  wird fortgesetzt,  indem auch eine Einkommenssteuer miteinbezogen wird. Begonnen wird mit der Analyse der Auswirkungen einer Einkommenssteuer auf Angebot und Nachfrage auf dem Arbeitsmarkt.

Es sei U der Nutzenfunktion des Individuums,  F = Freizeit  und A = Arbeit , y die Menge des Konsumgutes:

U=  U(x,F-A)

 

Wobei  die herkömmliche Annahme der Wirtschaftstheorie über die Nichtsättigung des Individuums angenommen wird, sodass der Nutzen U abgeleitet nach dem Konsum positiv ist:

     

 

und  Arbeit als nutzenminderndes Ungut definiert wird, sodass  der Nutzen U abgleitet nach Arbeit negativ ist:

 

Weiter sei w der Lohnsatz, y die Menge des Konsumgutes,  t die Steuerquote,  p  der Preis des Konsumgutes. Die Budget Restriktion ist dann:

P*y=(1-t)*w*A

 

Das Modell mit zwei Gütern, für y = Konsum und  F = Freizeit ergib den Tradeoff für das Individuum zwischen  Konsum abgetragen auf der Ordinate und Freizeit auf der Abszisse, ergibt wie in der neoklassischen Haushaltstheorie die klassische Konsumentscheidung. Das Individuum findet die optimale  Konsumentscheidung an dem Punkt, wo die Steigung der Indifferenzkurve  gleich der Steigung der Budgetgerade ist, sodass die marginale Grenzrate der Substitution  (MRS)  gleich der Steigung der Budgetgerade  ist.  ( Punkt 2 )

 

 

Abbildung 7

 

 

Ein Anstieg des Lohnsatzes w  (oder eine Verminung der Steuer) führt zu einer Rotation der Budgetgerade von Punkt a zu Punkt b. Die neue Budget Restriktion erlaubt es dem Individuum, auf eine höhere Indifferenzkurve zu gelangen, das neue Konsumoptimum liegt im Tangentialpunkt 3.  Die Bewegung von 1 nach 2 beinhaltet den Substitutionseffekt (von 1 nach 2) und den Einkommenseffekt (von 2 nach 3).  Der Substitutionseffekt entspricht der Bewegung entlang der Indifferenzkurve und führt das Individuum von Punkt 1 zu 2 (weniger Freizeit und mehr Arbeit). Der Substitutionseffekt hat immer ein positives Vorzeichen und führt immer zu einem höheren Arbeitsangebot, während der  Einkommenseffekt entweder positiv oder negativ sein kann. Damit kann eine Veränderung des Lohnsatzes (oder der Steuerquote) das Arbeitsangebot entweder erhöhen oder vermindern, abhängig vom Vorzeichen und der Höhe des Einkommenseffekts. Wenn der negative  Einkommenseffekt auf das Arbeitsangebot den positiven Substitutionseffekt übersteigt, dann kann auch eine Erhöhung des Lohnsatzes w, zu einer Verminung des Arbeitsangebots führen.

 

 

4.1 Schwellenwerte im Steuersystem

Mit diesem Modell lassen sich auch diverse Steuermodelle und Arbeitsangebots Effekte abbilden und durchspielen. Beispielsweise führt ein Schwellenwert im Steuersystem zu einem Knick in der Budgetgerade. Unterscheidet man nun zwischen interner Lösung und einer Ecklösung (corner solution) wird man auf ein interessantes Phänomen aufmerksam. Gegeben sei die Budget Gerade abc. Ein Individuum, das mit seiner Indifferenzkurve I‘ sein Optimum im Punkt b findet (corner solution) wird von einer Steuerveränderung nicht betroffen sein. Ändert sich beispielsweise die Budgetgerade  durch eine Steuerveränderung im Abschnitt bc auf bc‘, wird das Individuum trotz einer Steuererhöhung keine Nutzenminderung erfahren. Eine Möglichkeit bei Steuererhöhungen  den Nutzen einer ausgewählten Gruppe von Individuen nicht zu vermindert, würde dort ansetzen, wo sich ein Cluster von Individuen gebildet hat.  Wenn progressive Steuer mit unterschiedlichen Schwellenwerte eingeführt werden, dann hat die Budgetgerade in den jeweiligen Abständen mehre Knicke. Werden durch Steueränderung die Knicke dort eingeführt, wo sich Cluster gebildet haben,  würde demnach eine  Mehrzahl von Individuen die Ecklösungen einnehmen, unbeschadet lassen und sie auf demselben Nutzenniveau belassen.

 

 

4.2 Auswirkungen auf den Arbeitsmarkt

Da für Arbeitnehmer die Arbeitszeit nicht immer graduell wählbar ist,  stellt sich für sie oft nur die Option ganztägig, halbtägig, oder nicht arbeiten.  Unter diesen Umständen kann eine geringfügige Steuerveränderung dazu führen, dass ein Individuum einen höheren Nutzen erzielt, wenn es sich für nicht arbeiten entscheidet.  Abbildung 8: Gegeben sei die Budget Gerade abf und ein Individuum dessen Präferenzen durch die Indifferenzkurve I‘‘ beschrieben werden. Dieses Individuum findet zwei Optimum Lösungen b und b‘. Es ist indifferent zwischen arbeiten und nicht arbeiten. Führt eine Steuerreform dazu, dass sich die Budgetgerade abb‘ ändert zu def, so findet dieses Individuum nur noch den optimalen Punkt b‘. Es entscheidet sich für nicht arbeiten und mindert damit die Staatseinnahmen.  Um einen optimalen Punkt auf der neuen Budget Gerade def zu finden, müsste es auf eine niedrigere Indifferenzkurve absinken und damit einen Nutenverlust in Kauf nehmen.

 

 

 

Abbildung 8

 

 

Für eine vereinfachte Analyse des Nettoeffektes einer Lohnänderung auf das  Arbeitsangebot wählt man daher eine veränderte Modellierung:

Es sei  w  der Lohnsatz, z das Vorsteuereinkommen, l die Arbeit, x der  Konsum, p der Preis des Konsumgutes, sodass gilt:

 z= w*l

Daraus  folgt

l = z/w

 

Die Nutzenfunktion lautet:

U = U(x,z/w)

 

Die umgeformte Budget Gerade:

p*x = (1-t)*z

 

Eine Veränderung des Lohnsatzes w führt hier nicht mehr zu einer Veränderung der Steigung der Budgetgerade, sodass:

p*x=[1-t]*z  = 45° = konstant

Anders ausgedrückt die Budget Gerade hat die  Steigung  1. Siehe dazu Abbildung (Mirrlees Modell)  Eine Veränderung von w führt hier zu einer Veränderung der Indifferenzkurve, da der Nutzen  U eine Funktion vom Konsum x und von z/w ist.  Eine Erhöhung der Lohnquote oder (eine Verminderung  der Steuer) bedeutet, dass weniger zusätzlicher Arbeitsaufwand notwendig ist, um einen Nutzenzuwachs zu generieren, weshalb die Indifferenzkurve I  nach I‘ bewegt,  vom alten Optimum bei Punkt 1  zum neuen Optimum bei Punkt 2.  Diese  Form der Budget Gerade spielt in weiter Folge eine Rolle für  das Mirrlees Modell.

 

 

4.3  Einkommensteuer Optimieirung: Das Mirrlees Model  

Das Mirrlees Modell ist ein Standartmodell der Steuertheorie. Es nimmt den freien Wettbewerbsmarkt (Unternehmen sehen sich in der  langen Frist konfrontiert mit Preis gleich Grenzkosten, also  p = MC) und  gleiche Präferenzen der Individuen an. Dem Steuersystem werden keine Restriktionen gesetzt, es kann flexibel gestaltet  werden, um diverse Auswirkungen analysieren zu können.

Es sei definiert:

 x …Konsum

 l… Arbeit

Jedes Individuum besitzt ein Niveau der  Geschicklichkeit (skill level) s. Diese  Geschicklichkeit ist dem Gesetzgeber nicht bekannt und kann lediglich über den indirekten Weg es des Lohnsatzes w bestimmt werden (w=s). Es wird also angenommen, dass je höher die Fertigkeiten des Individuums sind, desto höher w.

Das Einkommen z ist abhängig vom Geschicklichkeits Niveau s,  sodass gilt:

z(s) = sl (s)

 

Die  Steuer T ist abhängig von der Geschicklichkeit:

T(s)

 

Damit lässt sich die Konsumfunktion definieren als:

x = c(z) ) z- T(z) 

 

Ohne Steuer ist die Konsumfunktion gleich der Einkommensfunktion mit der Steigung von 45°.  Dort wo die Konsumfunktion unterhalb der Einkommensfunktion liegt, ist die Steuer positiv. Liegt die  Konsumfunktion über der Einkommensfunkton, so  entspricht dies einer negative Steuer, oder anders ausgedrückt einer Förderungsleistung an das Individuum durch den Staat.   In  Abbildung 9  besitzt das Individuum ein Einkommen z‘  und  zahlt  Steuern in der Höhe von T(z‘).

 

Abbildung 9

 

Die Nutzenfunktion setzt sich zusammen aus Konsum und Einkommen,  wobei jetzt gilt  s= w sodass:

U=U(x, z/s)

 

 

4.3.1 Agent Monotonicity

Die Indifferenzkurven sind  abhängen von den Geschicklichkeits Niveaus der Individuen. Da das Individuum mit der höheren Geschicklichkeit (HS) für das gleiche Einkommen weniger Stunden arbeiten muss, als das  Individuum mit der niedrigeren Geschicklichkeit (LS), gilt  für  jedes Einkommen, dass die Indifferenzkuve  von HS  flacher ist, als für LS.  

Die Grenzrate der Substitution (MRS)  der Indifferenzkurve von HS ist in jedem Punkt ungleich der Grenzrate der Substitution  (MRS) der Indifferenzkurve von LS, wodurch die Steigung von HS in jedem Punkt ungleich der Steigung von LS. Daraus  folgt, dass es zwischen den Indifferenzkurven der beiden Individuen nur einen einzigen Schnittpunkt geben kann (Agent Monotonicity).

Agent Monotonicity führt dazu, dass das Individuum mit hoher Geschicklichkeit und  das Individuum mit der niedrigeren Geschicklichkeit, nicht im gleichen Punkt ihre optimale Konsumentscheidung haben können.  Der Grund dafür liegt in der Optimalitätsbedingung, wonach das Tangentialoptimum dort ist, wo Steigung der Indiffernzkurve gleich der Steigung der Konsumfunktion ist. Da (MRS) von HS ≠(MRS)  von LS,  kann das Optimum von LS nicht das Optimum von HS  sein. Das Optimum von Hs muss sich rechts vom Optimum von LS befinden.

 

 

4.3.2 Obere und untere Steuerlimit

Da  c(z)= z-T(z),  legt die Steigung der Konsumgerade auch die Steuerrate fest. Der Fall dass die erste Ableitung  der Konsumfunkton größer oder gleich Null ist, impliziert, dass die erste Ableitung der Steuerfunktion kleiner gleich 1 ist. 

Wenn c‘ (z) ≥ 0 dann T‘ (z) ≤ 1

Das  Modell determiniert eine maximale Steuerquote  dadurch, dass bei einer Konsumfunktion mit negativer Steigung, kein Individuum mit seiner Indifferenzkurve einen Tangentialpunkt findet, sodass kein Konsument sein Optimum dort wählt, wo die Konsumfunkton eine negative Steigung aufweist. Das oberste Limit liegt damit bei  T < 1, umgekehrt ist eine Steigung der Konsumgerade  von  45° (c‘ (z) >1) das untere Limit für eine zu realisierende Steuerquote, da Werte darüber negative Steuerzahlung (Förderungen) bedeuten, also T‘(z)<0.

Wenn c‘(z) >1 dann T‘ (z) <0

 

 

 

4.3.3 Optimale Steuerrate

Weiter folgt in dem System, dass eine  negative marginale  Steuerrate  T‘(z) <0 nicht optimal ist, und   ein  adaptives ökonomisches System zu T‘(z) ≥ 0 tendieren wird.  Argumentiert wird,  wenn c1 > 45° sich bewegt zu c2<45° folgt, dass | ∆z1  | =  | ∆z2  | und | ∆x1  | =  | ∆x2  |.  (Abbildung 10)  

Der Einkommenszuwachs von Individuum HS entspricht dem Einkommensverlust von Individuum LS, der Konsumzuwachs von Individuum LS entspricht dem Konsumverlust vom Individuum HS. Der Nettotransfer beträgt Konsum für Individuum LS und Einkommen für Individuum HS. Da der Konsumgewinn von Individuum LS finanziert wird durch den Arbeitszuwachs von Individuum HS  folgt,  unter der  im Modell gemachten Annahme, dass eine zusätzlichen Arbeitseinheit für das Individuum mit hoher Geschicklichkeit  weniger nutzensenkend ist, als für das  Individuum mit der niedrigeren Geschicklichkeit und der Grenznutzen einer zusätzlichen Einheit Konsum für das LS höher ist, als der Grenznutzen für eine zusätzliche Einheit Konsum für das HS, dass der Konsumzuwachs für Individuum LS  über den Einkommenszuwachs von Individuum HS einfacher generiert wird,  als wenn Individuum LS  seinen Konsumzuwachs selbst über den notwendigen Einkommenszuwachs generieren müsste.

 Da sich das System  mit dem Schritt von c1 zu c2 zu einer Wohlfahrtsverbesserung bewegt, kann angenommen werden, dass eine adaptive Ökonomie c2 mit T‘(z)≥0 realisiert. Diese ist eine Erkenntnis,  die sich aus der  unterschiedlichen  Geschicklichkeit der Individuen heraus ergibt.

 

Abbildung 10

 

 

4.3.4 Optimalitätsbedingung

Das Mirrelees Modell gibt an, dass das optimale Steuersystem für das Individuum mit der höchsten Geschicklichkeit, keine negative marginale Grenzrate der Steuerrate aufweisen kann. Für den  Ausgangspunkt der Argumentationskette sei die Konsumfunktion 123 gegen.  Ausgehend von einer Konsumfunktion 13  schneidet die Nutzen Indifferenzkurve I des Individuums HS, die Steuerfunktion im Optimum dort, wo die marginale Grenzrate der Substitution gleich der Steigung der  Konsumfunktion ist  (bei Punkt 2).  Nimmt man nun die neue Steuerfunktion 124  mit  einer Steigung der Geraden (24)  =45 ° an (sodass T‘(z)= 0), so schneidet die Indifferenzkurve I‘ des Individuums HS  die neue Konsumfunktion 24 im Optimum dort, wo die Grenzrate der Substitution (MRS =1 ) gleich der Steigung der neuen Konsumfunktion (k=1)  ist (Punkt 5). Daraus folgt, dass das Individuum HS sich mit der neuen Steuerfunktion 124  im Tangentialoptimum auf einer höheren Nutzenfunktion befindet, als auf der Steuerfunktion 123, während die Steuereinkünfte für den Staat (Vertikalabstande  zu der 45 ° Linie )  dieselben bleiben (T1 =T*).

Schlussfolgerungen  aus dem Mirrlees Modell: Das Pareto optimale Steuersystem kann keine vollständig progressive Entwicklung aufweisen, sondern muss für das Individuum mit der höchsten Geschicklichkeit eine marginale Grenzsteuer von Null aufweisen ( T‘(z) = 0). Es ist zu beachten, dass  T‘(z)=0  nur für das Individuum mit dem höchsten Skill Level gilt und keine Aussagen für die marginale Steuerlast der Individuen mit niedrigeren Geschicklichkeiten zulässt.  

 

 

Abbildung 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Literaturverzeichnis

Hindriks, J., & Myles, G. D. (2005). Intermediate Public. MIT Press.

Mueller, D. C. (2003). Public Choice III. Cambride Univ Press.

Myles, G. D. (1995). Public Economcis. Cambridge Univ. Press.

Stiglitz, J. E. (2000). Economics of the Public Sector. Norton.

 

Weitere Quellen:

Christian Klamler: KS Steuertheorie, Universtät Graz